Question

设函数f（x）是定义在[-1，0）∪（0，1]上的偶函数，当x∈[-1，0）时，f（x）=x³-ax（a∈R）．
（1）当x∈（0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）若a＞3，试判断f（x）在（0，1]上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1]时，f（x）有最大值1？

Answer 1

分析：（1）先由函数是偶函数得f（-x）=f（x），然后将所求区间利用运算转化到已知区间上，代入到[-1，0）时，f（x）=x³-ax即可求出在（0，1]上，函数的解析式．
（2）先求导函数，然后利用导数的符号确定函数f（x）在（0，1]上的单调性；
（3）讨论a，分别利用导数研究函数在（0，1]上的最值，然后建立等式关系，解之即可．

解答：解：（I）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0），
f(-x)=-x3+ax，f(x)为偶函数，f(x)=-x3+ax

x∈(0，1]．

----------（3分）
（II）f'（x）=-3x²+a，∵x∈（0，1]⇒3x²∈[-3，0），
又a＞3，∴a-3x²＞0，即f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1]上为增函数．-------------------7 分
（III）当a＞3时，f（x）在（0，1]上是增函数，f_max（x）=f（1）=a-1=1⇒a=2．
（不合题意，舍去）---8 分
当0≤a≤3时，f′(x)=a-3x2，令f′(x)=0，x=

a 3

．如下表：

x	(0， a 3 )	a 3	( a 3 ，1)
f'（x）	+	0	-
f（x）		最大值

∴f(x)在x=

a 3

处取最大值-(

a 3

)3+a

a 3

=1，⇒a=

3	27 4

＜3⇒x=

a 3

＜1．------（10分）
当a＜0时，f'（x）=a-3x²＜0，f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）在（0，1]无最大值．
∴存在a=

3	27 4

，使f(x)在(0，1]上有最大值1．--------------------------（12分）

点评：本题主要考查了解析式的求解以及函数的单调性，同时考查了利用导数研究闭区间上的最值，属于中档题．