Question

设函数y=f（x）不恒等于零，对于任意x，y有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，则f （x） 为R上的________（填增，减）函数．

Answer 1

减
分析：先令x=y=0求出f（0）的值，然后令y=-x，可得函数的奇偶性，设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，即可得到函数的单调性．
解答：当x=y=0时，则有f（0）=f（0）+f（0）=2（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
则有f（-x）=-f（x），
设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f （x） 为R上的减函数
故答案为：减
点评：本题主要考查了抽象函数单调性的判定，以及奇偶性和函数值，属于中档题．