Question

如图，正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A₁、B₁、C₁，已知OA1=

3

2

．
（1）求证：B₁C₁⊥平面OAH；
（2）求二面角O-A₁B₁-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）要证B₁C₁⊥平面OAH，直线证明直线垂直平面OAH内的两条相交直线：AH、OA即可；
（2）作出二面角O-A₁B₁-C₁的平面角，然后求解即可；或者建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解．

解答：解：（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，
则EF∥平面OBC，所以EF∥B₁C₁．
又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B₁C₁．
因为OA⊥OB，OA⊥OC，
所以OA⊥面OBC，则OA⊥B₁C₁，
因此B₁C₁⊥面OAH．

（2）作ON⊥A₁B₁于N，连C₁N．因为OC₁⊥平面OA₁B₁，
根据三垂线定理知，C₁N⊥A₁B₁，∠ONC₁就是二面角O-A₁B₁-C₁的平面角．
作EM⊥OB₁于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．
设OB₁=x，由

OB1

MB1

=

OA1

EM

得，

x

x-1

=

3

2

，解得x=3，
在Rt△OA₁B₁中，A1B1=

OA12+OB12

=

3

2

5

，则，ON=

OA1•OB1

A1B1

=

3

5

．
所以tan∠ONC1=

OC1

ON

=

5

，故二面角O-A₁B₁-C₁为arctan

5

．

解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
O-xyz则A(2，0，0)，B(0，0，2)，C(0，2，0)，E(1，0，1)，F(1，1，0)，H(1，

1

2

，

1

2

)
所以

AH

=(-1，

1

2

，

1

2

)，

OH

=(1，

1

2

，

1

2

)，

BC

=(0，2，-2)
所以

AH

•

BC

=0，

OH

•

BC

=0
所以BC⊥平面OAH，
由EF∥BC得B₁C₁∥BC，故：B₁C₁⊥平面OAH

（2）由已知A1(

3

2

，0，0)，设B₁（0，0，z）
则

A1E

=(-

1

2

，0，1)，

EB1

=(-1，0，z-1)
由

A1E

与

EB1

共线得：存在λ∈R有

A1E

=λ

EB1

得

- 1 2 =-λ 1=λ(z-1)

?z=3∴B1(0，0，3)
同理：C₁（0，3，0），∴

A1B1

=(-

3

2

，0，3)，

A1C1

=(-

3

2

，3，0)
设

n

1=(x1，y1，z1)是平面A₁B₁C₁的一个法向量，
则

- 3 2 x+3z=0 - 3 2 x+3y=0

令x=2，得y=z=1，∴

n1

=(2，1，1)．
又

n2

=(0，1，0)是平面OA₁B₁的一个法量∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

4+1+1

=

6

6

所以二面角的大小为arccos

6

6

（3）由（2）知，A1(

3

2

，0，0)，B（0，0，2），平面A₁B₁C₁的一个法向量为

n1

=(2，1，1)．
则

A1B

=(-

3

2

，0，2)．
则点B到平面A₁B₁C₁的距离为d=

| A1B • n1 |

|n1|

=

|-3+2|

6

=

6

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．