Question

在等差数列{a_n}中，公差d≠0，a₁=1且a₁，a₂，a₅成等比数列．在数列{b_n}中，b₁=3，b_n+1=2b_n-1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•（b_n-1）}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出（1+d）²=1•（1+4d），由此能求出数列{a_n}的通项公式；在数列{b_n}中，由b_n+1=2b_n-1，得b_n+1-1=2（b_n-1），由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由（1）得an•(bn-1)=(2n-1)•2n，由此利用错位相减法能求出Tn=6+(2n-3)•2n+1．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）依题意得

a1=1 a22=a1a5

，即（1+d）²=1•（1+4d），
解得d=2，或d=0，不合要求，舍去．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
在数列{b_n}中，由b_n+1=2b_n-1，
得b_n+1-1=2（b_n-1），
即数列{b_n-1}是首项为b₁-1=2，公比为2的等比数列．
得bn-1=2•2n-1=2ⁿ．
即bn=2n+1．…（6分）
（2）由（1）得an•(bn-1)=(2n-1)•2n，
∴T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
相减得-T_n=2+2（2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2+2（2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2+2•

2(1-2n)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2+2ⁿ⁺²-4-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
整理得Tn=6+(2n-3)•2n+1．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．