Question

已知A（1，0），P为圆F：（x+1）²+y²=16上任意一点，线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q，当点P在圆上运动时，
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M，N，使（

DM

+

DN

)•

MN

=0，若存在，求出直线l的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）直接由题意可得|QF|+|QA|=|FP|=4＞|FA|=2，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由b²=a²-c²求得b²，则点Q的轨迹方程可求；
（2）把条件（

DM

+

DN

)•

MN

=0转化为|

DM

|=|

DN

|，假设存在符合条件的直线，设出直线方程y=kx+m，和（1）中求得的轨迹方程联立，由判别式大于0得到4k²+3＞m²，再由|

DM

|=|

DN

|得到m=-3-4k²，两式联立得到矛盾式子，说明假设错误，即不存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M，N，使（

DM

+

DN

)•

MN

=0．

解答： 解：（1）依题意知：|QF|+|QA|=|FP|=4＞|FA|=2，
∴点Q的轨迹是以F，A为焦点的椭圆，
a=2，c=1，b²=a²-c²=3，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1=1；
（2）由（

DM

+

DN

）•

MN

=0，
得（

DM

+

DN

）⊥

MN

，则|

DM

|=|

DN

|，
假设存在符合条件的直线，则该直线的斜率一定存在，
设直线l：y=kx+m（k≠0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，得4k²+3＞m²．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为Q（x₀，y₀），
则x₀=

x1+x2

2

=-

4km

3+4k2

，y₀=kx₀+m=

3m

3+4k2

．
又∵|

DM

|=|

DN

|，
∴

y0-1

x0

=-

1

k

，
即

3m 3+4k2 -1

4km 3+4k2

=-

1

k

，
解得：m=-3-4k²．
代入4k²+3＞m²，得4k²+3＞（3+4k²）²，
即4k²＜-2，该式不成立．
∴假设错误．故满足条件的直线不存在．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了由向量数量积判断两个向量的垂直关系，体现了数学转化思想方法，训练了利用反证法思想解题，属中高档题．