Question

下列命题中正确的有

②③④

（填序号）
①若

a

与

b

满足

a

•

b

＞0，则

a

与

b

所成的角为锐角；
②若

a

与

b

不共线，

m

=λ1

a

+λ2

b

，

n

=μ1

a

+μ2

b

（λ₁，λ₂，μ₁，μ₂∈R），则

m

∥

n

的充要条件是λ₁μ₂-λ₂μ₁=0；
③若

OA

+

OB

+

OC

=

O

，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，则△ABC是等边三角形；
④若

a

与

b

为非零向量，且

a

⊥

b

，则|

a

+

b

|=|

a

-

b

|；
⑤设

a

，

b

，

c

为非零向量，若

a

•

b

=

c

•

b

，则

a

=

c

；
⑥若

a

，

b

，

c

为非零向量，则

a

•(

b

•

c

)=(

a

•

b

)•

c

．

Answer 1

分析：利用向量的数量积找出反例，直接判断①的正误；
通过向量平行的条件判断②的正误；
由向量的模的关系直接判断三角形的形状，判断③的正误；
通过向量模的几何意义判断④的正误；
通过向量数量积的运算找出反例，判断⑤的正误．
通过辛苦的数量积的运算直接判断⑥的正误．

解答：解：对于①若

a

与

b

满足

a

•

b

＞0，则

a

与

b

所成的角为锐角，如果两个向量共线同向，夹角是0°，
也满足题意，所以①不正确．
对于②若

a

与

b

不共线，

m

=λ1

a

+λ2

b

，

n

=μ1

a

+μ2

b

（λ₁，λ₂，μ₁，μ₂∈R），

m

∥

n

，则

m

=λ

n

，
即λ1

a

+λ2

b

=λ(μ1

a

+μ2

b

)，所以

λ1=λμ1 λ2=λμ2

即λ₁μ₂-λ₂μ₁=0，反之也成立，所以②正确；
对于③若

OA

+

OB

+

OC

=

O

，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，则△ABC是等边三角形；正确．
对于④若

a

与

b

为非零向量，且

a

⊥

b

，则

a

+

b

，

a

-

b

为矩形的对角线，所以|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，④正确．
对于⑤设

a

，

b

，

c

为非零向量，若

a

•

b

=

c

•

b

，则

a

=

c

，
例如

a

=(1，0），

b

=(0，1)，

c

=(-2，0)，满足

a

•

b

=

c

•

b

，但是没有

a

=

c

，所以⑤不正确
对于⑥若

a

，

b

，

c

为非零向量，

a

•(

b

•

c

)表示与

a

共线的向量，(

a

•

b

)•

c

表示与

c

共线的向量，
则

a

•(

b

•

c

)=(

a

•

b

)•

c

是错误的，所以⑥不正确．
综上正确的有②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查三角形的形状判断，命题的真假判断与应用，平面向量数量积的性质及其运算律，考查基本知识的灵活运用．