Question

设点A（1，0），B（2，1），如果直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，那么a²+b²的最小值为

1

5

．

Answer 1

分析：由题意得：点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，那么把这两个点代入ax+by-1，它们的符号相反，乘积小于等于0，即可得出关于a，b的不等关系，画出此不等关系表示的平面区域，结合线性规划思想求出a²+b²的取值范围．

解答：解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，
∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，
∴（a-1）（2a+b-1）≤0，
即

a-1≤0 2a+b-1≥0

或

a-1≥0 2a+b-1≤0

；
画出它们表示的平面区域，如图所示．
a²+b²表示原点到区域内的点的距离的平方，
由图可知，当原点O到直线2x+y-1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，
∵d=

|-1|

4+1

1

5

，
那么a²+b²的最小值为：d²=

1

5

．
故答案为：

1

5

．

点评：本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义，是基础题．准确把握点与直线的位置关系，找到图中的“界”，是解决此类问题的关键．