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    对于定义域为[0，1]的函数f（x），若同时满足以下三个条件：
    ①f（1）=1； 
    ②?x∈[0，1]，总有f（x）≥0； 
    ③当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），则称函数f（x）为理想函数．
    （Ⅰ）若函数f（x）为理想函数，求f（0）．
    （Ⅱ）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）和函数h(x)=sin
    π2
    x    （x∈[0，1]）是否为理想函数？若是，予以证明；若不是，说明理由．
    （III）设函数f（x）为理想函数，若?x0∈[0，1]，使f（x0）∈[0，1]，且f[f（x0）]=x0，求证：f（x0）=x0．
    分析：（I）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0），由已知f（0）≥0，可得f（0）=0
    （II）要判断函数g（x）=2x-1，h(x)=sin
    π
    2
    x    （x∈[0，1]）在区间[0，1]上是否为“理想函数，只要检验函数g（x）=2x-1，h(x)=sin
    π
    2
    x    （x∈[0，1]是否满足题目中的三个条件
    （III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．
    解答：解：（I）取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），可得f（0）≥f（0）+f（0）
    即f（0）≤0
    由已知?x∈[0，1]，总有f（x）≥0可得f（0）≥0，
    ∴f（0）=0
    （II）显然g（x）=2x-1在[0，1]上满足g（x）≥0；②g（1）=1．
    若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，
    则有g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=2x1+x2-1-[（2x1-1）+（2x2-1）]=（2x2-1）（2x1-1）≥0
    故g（x）=2x-1满足条件①②③，所以g（x）=2x-1为理想函数．
    对应函数h(x)=sin
    π
    2
    x    在x∈[0，1]上满足①h（1）=1； ②?x∈[0，1]，总有h（x）≥0；
    ③但当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，例如x1=
    1
    2
    =x2时，h（x1+x2）=h（1）=1，而h（x1）+h（x2）=2h（
    1
    2
    ）=
    		2
    ，不满足条件③，则函数h（x）不是理想函数．
    （III）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
    ∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．
    若f（x0）＞x0，则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；
    若：f（x0）＜x0，则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．
    故f（x0）=x0．
    点评：采用赋值法是解决抽象函数的性质应用的常用方法，而函数的新定义往往转化为一般函数性质的研究，本题结合指数函数的性质研究函数的函数的函数值域的应用，指数函数的单调性的应用．
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    （1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
    （2）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
    （3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．

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    （1）判断函数g（x）=2x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
    （2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
    （3）某同学发现：当x=
    1
    2n
    （n∈N）时，有f（
    1
    2n
    ）≤
    1
    2n
    +2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    （Ⅰ）求f（0）的值；
    （Ⅱ）问函数g（x）=f（x）-2x-
    1
    10
    在[
    1
    2
    ，1]上是否有零点？

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

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    （1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
    （2）判断函数g（x）=2x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
    （3）若函数f（x）为理想函数，假定?x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．

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