Question

5．设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（1）=-2，当x＞0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（2）当-2015≤x≤2015时，不等式f（x）≤k恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=0求出f（0）=0，再令y=-x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
设x₁＜x₂，结合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），由x＞0时，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），证明函数在R上单调递减；
（3）再利用赋值法和条件，分别求出函数最大值，再由不等式恒成立思想可得k的范围．

解答 解：（1）f（x）在R上单调递减．
理由如下：令x=y=0，可得f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．
设x₁＜x₂，令y=-x₁，x=x₂
则f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
因为x＞0时，f（x）＜0，
故f（x₂-x₁）＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上单调递减；
（2）f（x）在[-2015，2015]上单调递减，
∴x=-2015时，f（x）有最大值，
f（-2015）=-f（2015）=-2015f（1）
=-2015×（-2）=4030．
不等式f（x）≤k恒成立，
即有k≥4030．

点评 本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及函数最值，解此类题目，注意赋值法的运用．