Question

已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点，抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

(1)求证：A、M、B三点的横坐标成等差数列；

(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

 

Answer 1

（1）见解析（2）32

【解析】(1)证明：由已知，得F(0，1)，显然直线AB的斜率存在且不为0,

则可设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由消去y，得x2－4kx－4＝0，显然Δ＝16k2＋16>0.

所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，

由x2＝4y，得y＝x2，所以y′＝x,所以，直线AM的斜率为kAM＝x1,

所以，直线AM的方程为y－y1＝x1(x－x1)，又＝4y1,

所以，直线AM的方程为x1x＝2(y＋y1)①，同理，直线BM的方程为x2x＝2(y＋y2)②，

②－①并据x1≠x2得点M的横坐标x＝，即A、M、B三点的横坐标成等差数列．

(2)【解析】
由①②易得y＝－1，所以点M的坐标为(2k，－1)(k≠0).

所以kMF＝＝－，则直线MF的方程为y＝－x＋1，

设C(x3，y3)，D(x4，y4)由消去y，得x2＋x－4＝0，显然Δ＝＋16>0,

所以x3＋x4＝－，x3x4＝－4，又|AB|＝

＝＝4(k2＋1)，

|CD|＝＝

，

因为kMF·kAB＝－1，所以AB⊥CD，

所以SACBD＝|AB|·|CD|＝8≥32,

当且仅当k＝±1时，四边形ACBD面积取到最小值32.