Question

已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．

 

Answer 1

x＝3或y＝1

【解析】(解法1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的线段AB的长＝5，符合题意．

若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.

解方程组，得A，

解方程组，得B.

由＝5，得＝52.

解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.

(解法2)由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝＝，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图)．

设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ＝，故θ＝45°.

由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3，1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.

(解法3)设直线l与l1、l2分别相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.

两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①

又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②

联立①②，可得

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.

故所求直线方程为x＝3或y＝1.