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设函数g(x)=
x1+x2
(x>0)
,f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,区间I={x|f(x)>0}
(1)证明:函数g(x)在(0,1]单调递增;
(2)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α);
(3)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值.
分析:(1)用单调性定义证明函数g(x)在(0,1]的单调性;
(2)求出f(x)>0的解集,即得区间I长度;
(3)由g(x)在[1,+∞)上的单调性,求出区间I的表达式g(a)在[1-k,1+k]上的最小值即可.
解答:解:(1)证明:∵函数g(x)=
x
1+x2
(x>0)

任取x1,x2∈(0,1],且x1<x2
g(x1)-g(x2)=
x1
1+
x
2
1
-
x2
1+
x
2
2
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)

∵0<x1<x2≤1,
∴x1-x2<0,1-x1x2>0,1+
x
2
1
>0
1+
x
2
2
>0

∴g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2),
∴函数g(x)在(0,1]单调递增.
(2)∵f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a>0,
且区间I={x|f(x)>0},
∴f(x)=x[a-(1+a2)x]>0,
x∈(0,
a
1+a2
)
,即区间I长度为
a
1+a2

(3)由(1)知,g(x1)-g(x2)=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+
x
2
1
)(1+
x
2
2
)

当1≤x1<x2时,x1-x2<0,1-x1x2<0,1+
x
2
1
>0
1+
x
2
2
>0

∴g(x1)-g(x2)>0,即g(x1)>g(x2);
∴g(x)在[1,+∞)上单调递减,
由(2)知,I=g(a)=
a
1+a2
,又∵k∈(0,1),0<1-k<1,1<1+k<2,
∴函数g(a)在[1-k,1]上单调递增,g(a)在[1,1+k]上单调递减;
∴当1-k≤a≤1+k时,I长度的最小值必在a=1-k或a=1+k处取得,
g(1-k)
g(1+k)
=
1-k
1+(1-k)2
1+k
1+(1+k)2
=
2-k2-k3
2-k2+k3
<1
,又g(1+k)>0,
∴g(1-k)<g(1+k);
∴当a=1-k时,I取最小值g(1-k)=
1-k
2-2k+k2
点评:本题考查了函数的单调性与最值问题,以及函数与不等式的综合应用问题,是综合性题目.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
mx
x2+n
(m,n∈R)
在x=1处取到极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)设函数g(x)=lnx+
a
x
.若对任意的x1∈R,总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+
7
2
,求实数a的取值范围.

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设函数f(x)=x2-2(-1)klnx(k∈N+).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设函数g(x)=2bx-
1
x2
在(0,1]上是增函数,且对于(0,1]内的任意实数x1,x2当k为偶数时,恒有f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)当k是偶数时,函数h(x)=f′(x)-x+
3
x
,求证:[h(x)]n+2≥h(xn)+2n(n∈N+).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f1(x)=
mx
4x2+16
f2(x)=(
1
2
)|x-m|
,其中m∈R.
(1)若0<m≤2,试判断函数f (x)=f1(x)+f2(x)(x∈[2,+∞))的单调性,并证明你的结论;
(2)设函数g(x)=
f1(x) x≥2 
f2(x) x<2.
若对任意大于等于2的实数x1,总存在唯一的小于2的实数x2,使得g(x1)=g(x2)成立,试确定实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,n∈N*,其导函数记为fn′(x),且满足f2′[x1+a(x2-x1)]=
f2(x2)-f2(x1)
x2-x1
,a,x1,x2为常数,x1≠x2
(1)试求a的值;
(2)记函数F(x)=b•f1(x)-lnf3(x),x∈(0,e],若F(x)的最小值为6,求实数b的值;
(3)对于(2)中的b,设函数g(x)=(
b
3
)x
,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是函数g(x)图象上两点,若g′(x0)=
y2-y1
x2-x1
,试判断x0,x1,x2的大小,并加以证明.

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