Question

已知定义在实数集上的函数f_n（x）=xⁿ，n∈N^*，其导函数记为f_n′（x），且满足f2′[x1+a(x2-x1)]=

f2(x2)-f2(x1)

x2-x1

，a，x₁，x₂为常数，x₁≠x₂．
（1）试求a的值；
（2）记函数F（x）=b•f₁（x）-lnf₃（x），x∈（0，e]，若F（x）的最小值为6，求实数b的值；
（3）对于（2）中的b，设函数g(x)=(

b

3

)x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数g（x）图象上两点，若g′(x0)=

y2-y1

x2-x1

，试判断x₀，x₁，x₂的大小，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据所给的函数，对函数求导，根据题意写出满足的关系式，求出字母系数的值．
（2）根据所给的函数，对函数求导，根据函数求最值的过程，先求出函数的单调性，根据单调性做出函数的单调区间，进一步做出函数的最值．
（3）先猜测三个变量的大小，要证三个变量之间的这种大小关系，只要构造新不等式，只需证ex1＜ex0＜ex2，结合条件中所给的关系，利用函数的单调性得到结论．

解答：解：（1）f₂（x）=x²，f₂′（x）=2x
依题意，2•[x1+a(x2-x1)]=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

，得，a=

1

2

．             
（2）F（x）=bx-3lnx，F′(x)=b-

3

x

，x∈（0，e]，
①若b≤

3

e

，F′(x)=a-

3

x

≤0，F（x）在（0，e]上单调递减，
F（x）的最小值是F（e），由a₁（x），a₂（x），a₃（x）得，b=

9

e

（舍去）；     
②若b＞

3

e

，F′(x)=

b

x

(x-

3

b

)，令F'（x）=0得x=

3

b

，
当x∈(0，

3

b

)时，F'（x）＜0，F（x）在(0，

3

b

)上单调递减；
当x∈(

3

b

，e]时，F'（x）＞0，F（x）在(

3

b

，e]上单调递增；
所以F（x）的最小值是F(

3

b

)，由F(

3

b

)=6得，b=3e．          
（3）g（x）=e^x，猜测x₁＜x₀＜x₂．
只需证ex1＜ex0＜ex2，∵g′(x0)=ex0=

y2-y1

x2-x1

=

ex2-ex1

x2-x1

，
故只需证ex1＜

ex2-ex1

x2-x1

＜ex2，
即证：ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，且ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0，
设h(x)=ex+ex(x2-x)-ex2，h'（x）=-e^x（x-x₂），当x≤x₂时，h'（x）≥0，
∴h（x）在（-∞，x₂]上是增函数，
∵x₁＜x₂，∴h（x₁）＜h（x₂），即ex1+ex1(x2-x1)-ex2＜0，
设φ(x)=ex-ex(x-x1)-ex1，则φ'（x）=-e^x（x-x₁），当x≥x₁时，φ'（x）≤0，
∴φ（x）在[x₁，+∞）上是减函数，
∵x₁＜x₂，∴φ（x₁）＞φ（x₂），即ex2-ex2(x2-x1)-ex1＜0．
综上所述，x₁＜x₀＜x₂．

点评：本题考查函数的单调区间和单调性的应用，本题解题的关键是猜测和证明的过程非常重要，再者题目要证明一个不等式成立，题目做了铺垫，始终根据函数的性质解题．