Question

已知f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（I）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（II）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x₁，x₂，求k的取值范围，并证明

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

（Ⅰ）（1）当k=2时，f（x）=|x²-1|+x²+kx
①当x²-1≥0时，即x≥1或x≤-1时，方程化为2x²+2x-1=0
解得x=

-1± 3

2

，因为0＜

-1+ 3

2

＜1，故舍去，所以x=

-1- 3

2

．
②当x²-1＜0时，-1＜x＜1时，方程化为2x+1=0
解得x=-

1

2

由①②得当k=2时，方程f（x）=0的解所以x=

-1- 3

2

或x=-

1

2

．
（II）不妨设0＜x₁＜x₂＜2，
因为f(x)=

2x2+kx-1，|x|＞1 kx+1，|x|≤1

所以f（x）在（0，1]是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，
若1＜x₁＜x₂＜2，则x₁x₂=-

1

2

＜0，故不符题意，因此0＜x₁≤1＜x₂＜2．
由f（x₁）=0得k=-

1

x1

，所以k≤-1；
由f（x₂）=0得k=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜k＜-1；
故当-

7

2

＜k＜-1时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解．
当0＜x₁≤1＜x₂＜2时，k=-

1

x1

，2x₂²+kx₂-1=0
消去k得2x₁x₂²-x₁-x₂=0
即

1

x1

+

1

x2

=2x2，因为x₂＜2，所以

1

x1

+

1

x2

＜4．