Question

“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参加该活动，若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动．假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响．
（1）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（2）假定（1）中被邀请到的3个人中恰有两个接受挑战，根据活动规定，现记X为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得每个人接受挑战的概率是

1

2

，不接受挑战的概率也是

1

2

，由此能求出这3个人中至少有2个人接受挑战的概率．
（Ⅱ）X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，由此得X～B（6，

1

2

），从而能求出X的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）∵每个人接受挑战和不接受挑战是等可能的，
∴每个人接受挑战的概率是

1

2

，不接受挑战的概率也是

1

2

，
设事件M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则P（M）=

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)+

C

3 3

(

1

2

)3=

1

2

．
（Ⅱ）∵X为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，∴X～B（6，

1

2

），
P（X=0）=

C

0 6

(

1

2

)6=

1

64

，P（X=1）=

C

1 6

(

1

2

)(

1

2

)5=

3

32

，
P（X=2）=

C

2 6

(

1

2

)2(

1

2

)4=

15

64

，P（X=3）=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)3=

5

16

，
P（X=4）=

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

64

，P（X=5）=

C

5 6

(

1

2

)5(

1

2

)=

3

32

，
P（X=6）=

C

6 6

(

1

2

)6=

1

64

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	1 64	3 32	15 64	5 16	15 64	3 32	1 64

∴EX=0×

1

64

+1×

3

32

+2×

15

64

+3×

5

16

+4×

15

64

+5×

3

32

+6×

1

64

=3．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．