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已知tanα=4
3
cos(α-β)=
13
14
,且0<β<α<
π
2

(1)求cos2α的值;
(2)求β.
分析:(1)根据题意,利用同角三角函数的关系解出sinα=
4
3
7
、cosα=
1
7
,再由二倍角的余弦公式即可算出cos2α的值;
(2)由0<β<α<
π
2
,利用同角三角函数的关系算出sin(α-β)=
3
3
14
,再进行配角:β=α-(α-β),利用两角和的余弦公式并结合(1)的结论算出cosβ=
1
2
,可得角β的大小.
解答:解:(1)∵tanα=4
3

sinα
cosα
=4
3
sin2α+cos2α=1
,解之得sin2α=
48
49
,cos2α=
1
49

又∵0<α<
π
2
,∴sinα=
4
3
7
,cosα=
1
7
(舍负)
因此,cos2α=cos2α-sin2α=-
47
49

(2)∵0<β<α<
π
2
,∴0<α-β<
π
2

又∵cos(α-β)=
13
14
,∴sin(α-β)=
1-cos2(α-β)
=
3
3
14

由(1)知sinα=
4
3
7
,cosα=
1
7

∴cosβ=cos[α-(α-β)]
=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=
1
7
×
13
14
+
4
3
7
×
3
3
14
=
1
2

又∵0<β<
π
2
,∴β=
π
3
点评:本题通过求cos2α的值与角β的大小,考查了同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等知识,属于中档题.
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已知tanα=-
4
3
,则tan(α+
1
4
π)
的值是(  )
A、-7
B、-
1
7
C、7
D、
1
7

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4
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,α是三象限角,则cosα=(  )

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已知tanα=
4
3
,α∈(π,
2
)
,则sinα=
-
4
5
-
4
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