Question

（2010•广州模拟）在△ABC中，角A，B，C成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）若sin(A+B)=

2

2

，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）由角A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，再根据三角形是的内角和定理化简，即可求出B的度数；
（2）法1：根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+B）=sinC，可得出sinC的度数，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，由B和C的度数求出A的度数，即可确定出A的度数，可得出sinA的值；
法2：由A和B为三角形的内角，根据sin（A+B）的值，利用特殊角的三角函数值求出A+B的度数，根据B的度数求出A的度数，可得出sinA的值；
法3：把B的度数代入已知的等式中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简得出关于sinA和cosA的关系式，再根据同角三角函数间的基本关系得到sin²A+cos²A=1，两者联立可求出sinA的值．

解答：解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，
由角A，B，C成等差数列，得2B=A+C．
解得B=

π

3

；
（2）方法1：由sin(A+B)=

2

2

，即sin(π-C)=

2

2

，得sinC=

2

2

，
所以C=

π

4

或C=

3π

4

，
由（1）知B=

π

3

，所以C=

π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法2：因为A，B是△ABC的内角，且sin(A+B)=

2

2

，
所以A+B=

π

4

或A+B=

3π

4

．
由（1）知B=

π

3

，
所以A+B=

3π

4

，即A=

5π

12

，
所以sinA=sin

5π

12

=sin(

π

4

+

π

6

)=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

=

2 + 6

4

；
方法3：由（1）知B=

π

3

，所以sin(A+

π

3

)=

2

2

，
即sinAcos

π

3

+cosAsin

π

3

=

2

2

，即

1

2

sinA+

3

2

cosA=

2

2

，

3

cosA=

2

-sinA，
3cos2A=2-2

2

sinA+sin2A，
又cos²A=1-sin²A，
所以3(1-sin2A)=2-2

2

sinA+sin2A．
即4sin2A-2

2

sinA-1=0，
解得：sinA=

2 ± 6

4

，
因为角A是△ABC的内角，所以sinA＞0，
故sinA=

2 + 6

4

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，等差数列的性质，同角三角函数间的基本关系，三角形的内角和定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．