Question

递增的等比数列{a_n}的前n项和为Sn，且S₂=6，S₄=30
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_nlog

1

2

an，数列{b_n}的前n项和为Tn，求T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（I）把已知利用等比数列的求和公式表示，解方程可求a₁，q，进而可求通项
（II）由b_n=a_nlog

1

2

an=-n•2ⁿ，利用错位相减即可求解数列的和，代入解不等式即可求解满足条件的n

解答：解：（I）∵S₂=6，S₄=30

1-q4

1-q2

=1+q2
∴

a1(1-q2) 1-q =6 a1(1-q4) 1-q =30

两式相除可得，

1-q4

1-q2

=1+q2=5
∵数列{a_n}递增，q＞0
∴q=2，a₁=2
∴an=2•2n-1=2ⁿ
（II）∵b_n=a_nlog

1

2

an=-n•2ⁿ
∴Tn=-(1•2+2•22+…+n•2n)
设Hn=1•2+2•22+…+n•2n
2H_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
两式相减可得，-H_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹（1-n）-2=T_n
∵T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50
∴（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+n•2ⁿ⁺¹＞50
∴2ⁿ⁺¹＞52
∴最小正整数n的值为5

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．