Question

1．设函数${f_0}（x）={（{\frac{1}{2}}）^{|x|}}$，${f_1}（x）=|{{f_0}（x）-\frac{1}{2}}|$，${f_n}（x）=|{{f_{n-1}}（x）-{{（{\frac{1}{2}}）}^n}}|$，则方程${f_n}（x）={（{\frac{1}{n+2}}）^n}$有2ⁿ⁺¹个实数根．

Answer 1

分析 分别n=1，2，3，再归纳法即可求出答案．

解答 解：当n=1时，f₁（x）=|（$\frac{1}{2}$）^|x|-$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{3}$，即当-1≤x≤1时，（$\frac{1}{2}$）^|x|=$\frac{5}{6}$，或x＜-1或x＞1时，（$\frac{1}{2}$）^|x|=$\frac{1}{6}$，此时方程有2²个解，
当n=2时，f₂（x）=|f₁（x）-$\frac{1}{4}$|=$\frac{1}{16}$，即f₁（x）=$\frac{5}{16}$，f₁（x）=$\frac{3}{16}$，此时方程有2³个解，
当n=3时，f₃（x）=|f₂（x）-$\frac{1}{8}$|=$\frac{1}{125}$，即f₂（x）=$\frac{133}{1000}$，f₂（x）=$\frac{117}{1000}$，此时方程有2⁴个解，
依此类推，方程${f_n}（x）={（{\frac{1}{n+2}}）^n}$有2ⁿ⁺¹个解．
故答案为：2ⁿ⁺¹

点评 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，属于中档题．