Question

19．已知矩阵$M=[{\begin{array}{l}2&a\\ b&1\end{array}}]$，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．

Answer 1

分析 由题意得$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{3b-1=5}\end{array}\right.$，解得M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$，由此能求出矩阵M的特征值．

解答 解：由题意得：$[\begin{array}{l}{2}&{a}\\{b}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{3}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{6-a}\\{3b-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6-a=3}\\{3b-1=5}\end{array}\right.$，解得a=3，b=2．∴M=$[\begin{array}{l}{2}&{3}\\{2}&{1}\end{array}]$，
设矩阵M的特征值为λ，
则f（λ）=$|\begin{array}{l}{2-λ}&{3}\\{2}&{1-λ}\end{array}|$=0，化为（2-λ）（1-λ）-6=0，
化为λ2-3λ-4=0，
解得λ₁=-1，λ₂=4．

点评 本题考查矩阵的特征值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意矩阵运算法则的合理运用．