Question

已知函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)， x∈R．
（1）求函数y的最大值及y取最大值时x的集合；    
（2）求函数y的单调递减区间；
（3）将函数y=sin(

1

2

x+

π

3

)的图象作怎样的变换可得到y=sinx的图象？

Answer 1

分析：（1）根据正弦函数的特点知当

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

， k∈Z时y取最大值为1，求出x即可得出结果．
（2）直接根据正弦函数的单调性进行求单调区间．
（3）将y=sin(

1

2

x+

π

3

)的图象向右平移

2π

3

个单位可得到y=sin(

1

2

x)的图象，再将所得图象的横坐标变为原来的

1

2

可得到y=sinx的图象．

解答：解：（1）当sin(

1

2

x+

π

3

)=1时，y取最大值y_max=1，…（1分）
此时

1

2

x+

π

3

=2kπ+

π

2

， k∈Z即x=4kπ+

π

3

， k∈Z…（3分）∴y取最大值1时，x的集合为{x|x=4kπ+

π

3

， k∈Z}…（4分）
（2）令z=

1

2

x+

π

3

，则y=sinz，y=sinz的单调递减区间为[2kπ+

π

2

，2kπ+

3

2

π](k∈Z)
由2kπ+

π

2

≤

1

2

x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

， (k∈Z)得4kπ+

π

3

≤x≤4kπ+

7

3

π，k∈Z
又z=

1

2

x+

π

3

在（-∞，+∞）上为增函数，故原函数的单调递减区间为：[4kπ+

π

3

，4kπ+

7

3

π](k∈Z)…（8分）
（3）将y=sin(

1

2

x+

π

3

)的图象向右平移

2π

3

个单位可得到y=sin(

1

2

x)的图象，…（10分）
再将所得图象的横坐标变为原来的

1

2

可得到y=sinx的图象．…（12分）

点评：本题考查了正弦函数的值域，单调性以及函数的图象变换，对于三角函数的基本性质一定要熟练掌握，这是解题的关键．