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    已知椭圆E:+=1(a>b>0),以抛物线y2=8x的焦点为顶点,且离心率为.

    (1)求椭圆E的方程;

    (2)若F为椭圆E的左焦点,O为坐标原点,直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭圆E上一点且满足=+,证明·为定值,并求出该值.

     

    【答案】

    （1）+=1 （2），证明见解析

    【解析】

    解:(1)抛物线y2=8x的焦点为(2,0),

    又椭圆以抛物线焦点为顶点,

    ∴a=2,

    又e==,

    ∴c=1,∴b2=3.

    ∴椭圆E的方程为+=1.

    (2)由(1)知,F(-1,0),

    由

    消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.

    ∵l与椭圆交于两点,

    ∴Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,

    即m2<4k2+3.

    设A(x1,y1),B(x2,y2),

    则x1、x2是上述方程的两个根,

    ∴x1+x2=-,x1·x2=,

    又y1+y2=kx1+m+kx2+m

    =k(x1+x2)+2m

    =

    ∴=+=（-,）,

    由点P在椭圆上,得+=1.

    整理得4m2=3+4k2,

    又Q(-4,-4k+m),

    ∴=(-3,-4k+m).

    ∴·=（-,）·(-3,m-4k)

    =+

    =

    =.

    即·为定值.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
    32
    )    三点．
    （1）求椭圆E的方程：
    （2）若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点，F（-1，0），H（1，0），当△DFH内切圆的面积最大时．求内切圆圆心的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=
    2
    3
    ，过点C（-1，0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且满足
    AC
    =2
    CB
    ．
    （Ⅰ）用直线l的斜率k（k≠0）表示△OAB的面积；
    （Ⅱ）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
    （1）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，求k1•k2的值；
    （2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆E:+=1(a＞b＞0),其左、右焦点为F1(-c,0)、F2(c,0)(c＞0).

    (1)若F2(2,0)关于直线y=x+的对称点在椭圆E上,求该椭圆E的方程;

    (2)若椭圆E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点(如图),求这个平行四边形面积的最大值.

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