Question

如图，已知椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，表示出斜率，利用P是双曲线G上异于顶点的任一点，即可求得k₁•k₂的值；
（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可得λ=

|AB|+|CD|

|AB|•|CD|

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

，从而问题得解．

解答：解：（1）设点P（x，y），x≠±2，那么k1=

y

x+2

，k2=

y

x-2

∴k1k2=

y

x+2

×

y

x-2

=

y2

x2-4

∵P是双曲线G上异于顶点的任一点
∴x²-y²=4，
∴y²=x²-4，
∴k₁k₂=1
（2）设直线AB：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程组

y=k1(x+2) x2 8 + y2 4 =1

得(2k12+1)x2+8k12x+8k12-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x1+x2=

-8k12

2k12+1

，x1x2=

8k12-8

2k12+1

由弦长公式得|AB|=

1+k12

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 2 (1+k12)

2k12+1

同理设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），|CD|=

1+k22

(x3+x4)2-4x3x4

=

4 2 (1+k22)

2k22+1

由（1）k₁•k₂=1得，k2=

1

k1

，代入得|CD|═

4 2 (1+k12)

k12+2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ=

|AB|+|CD|

|AB|•|CD|

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

则存在λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评：本题重点考查直线与圆锥曲线的综合，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用弦长公式，综合性强．