Question

如图为河岸一段的示意图．一游泳者站在河岸的A点处，欲前往对岸的C点处，若河宽BC为100m，A、B相距100m，他希望尽快到达C，准备从A步行到E（E为河岸AB上的点），再从E游到C．已知此人步行速度为v，游泳速度为0.5v．
（1）设∠BEC=θ，试将此人按上述路线从A到C所需时间T表示为θ的函数，并求自变量θ的取值范围；
（2）当θ为何值时，此人从A经E游到C所需时间T最小，其最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）分别求出从A步行道E所用、从E游到C的路程，即可得到从A到C所需时间T表示为θ的函数，利用E位于A处时，θ取最小值

π

4

，E位于B处时，θ取最大值

π

2

，可得自变量θ的取值范围；
（2）求导函数，可得T′=-

100

v

•

2(cosθ- 1 2 )

sin2θ

，确定函数的单调性，即可得到θ=

π

3

时，T取得极小值，也是最小值．

解答：解：（1）由题意，从A步行道E所用时间为

AE

v

，AE=AB-BE=100（1-

cosθ

sinθ

）
从E游到C，所用时间为

EC

0.5v

，EC=

BC

sinθ

=

100

sinθ

∴T=

100

v

(1+

2

sin

-

cosθ

sinθ

)
∵E位于A处时，θ取最小值

π

4

，E位于B处时，θ取最大值

π

2

∴自变量θ的取值范围为[

π

4

，

π

2

]；
（2）求导函数，可得T′=-

100

v

•

2(cosθ- 1 2 )

sin2θ

∴θ∈[

π

4

，

π

3

)时，cosθ＞

1

2

，T′＜0；θ∈(

π

3

，

π

2

]时，cosθ＜

1

2

，T′＞0
∴θ=

π

3

时，T取得极小值，也是最小值为

100(1+ 3 )

v

．

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用导数解决实际问题，建模是关键．