Question

已知函数f（x）=(logax)2-log_ax-2（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（2）；
（Ⅱ）求解关于x的不等式f（

1+x

1-x

）＞0；
（Ⅲ）若函数f（x）在[2，4]的最小值为4，求实数a的值．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（2）=(log22)2-log₂2-2=1-1-2=-2                     …．（2分）
（Ⅱ）令t=

1+x

1-x

，t∈（0，+∞）
f（

1+x

1-x

）＞0等价于（log_at-2）（log_at+1）＞0
∴log_at＞2或log_at＜-1，
当a＞1时，t＞a²或t＜

1

a

∴

1+x

1-x

＞a2或

1+x

1-x

＜

1

a

∴

a2-1

a2+1

＜x＜1或-1＜x＜

1-a

1+a

；
当0＜a＜1时，t＜a²或t＞

1

a

∴

1+x

1-x

＜a2或

1+x

1-x

＞

1

a

∴-1＜x＜

a2-1

a2+1

或

1-a

1+a

＜x＜1              …．（7分）
（Ⅲ）令log_ax=v，y=f（v）=v²-v-2，对称轴为v=

1

2

．
当a＞1时，v∈[log_a2，log_a4]
①当1＜a≤4，即

1

2

≤loga2时，f（v）在[log_a2，log_a4]上单调递增，
∴f_min（v）=f（log_a2）=(loga2)2-loga2-2=4
∴log_a2=3或log_a2=-2（不合题意）
∴a=

3	2

②当4＜a＜16，即loga2＜

1

2

＜loga4时，fmin(v)=f(

1

2

)≠4；
③当a≥16，即

1

2

≥loga4时，f_min（v）=f（log_a4）=(loga4)2-loga4-2=4
∴log_a4=3或log_a4=-2（不合题意）
当0＜a＜1时，v∈[log_a4，log_a2]，显然

1

2

≥loga2，
∴f_min（v）=f（log_a2）=(loga2)2-loga2-2=4
∴log_a2=-2或log_a2=3（不合题意）
∴a=

2

2

综上：a=

3	2

或a=

2

2

                    …．（12分）