Question

1．设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）上是增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析 f（x）+f（x-3）=f（x（x-3）），而2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），由函数单调性可得x（x-3）≤4，在结合定义域得到x＞0，x-3＞0解出．

解答 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
f（x）+f（x-3）=f（x²-3x），
∴f（x²-3）≤f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{{x}^{2}-3x≤4}\end{array}\right.$，
解得3＜x≤4．
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解是（3，4]．

点评 本题考查了函数单调性的应用，通过已知条件找到f（4）=2是本题关键．