Question

6．甲箱子里装有3个白球m个黑球，乙箱子里装有m个白球，2个黑球，在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖
（1）当获奖概率最大时，求m的值；
（2）在（1）的条件下，班长用上述摸奖方法决定参加游戏的人数，班长有4次摸奖机会（有放回摸取），当班长中奖时已试验次数ξ即为参加游戏人数，如4次均未中奖，则ξ=0，求ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出获奖概率，由此能求出获奖概率最大时，m的值．
（2）由已知得ξ的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）∵甲箱子里装有3个白球m个黑球，乙箱子里装有m个白球，2个黑球，
在一次试验中，分别从这两个箱子里摸出一个球，若它们都是白球，则获奖，
∴获奖概率$p=\frac{3}{m+3}•\frac{m}{m+2}=\frac{3}{{m+\frac{6}{m}+5}}，m=2$或3时，${P_{max}}=\frac{3}{10}$．（4分）
（2）由已知得ξ的取值为0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=（1-$\frac{3}{10}$）⁴=$\frac{2401}{10000}$，
P（ξ=1）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=2）=$\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{21}{100}$，
P（ξ=3）=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}$×$\frac{3}{10}$=$\frac{147}{1000}$，
P（ξ=4）=$\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×\frac{7}{10}×\frac{3}{10}$=$\frac{1029}{10000}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	0
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{21}{100}$	$\frac{147}{1000}$	$\frac{1029}{10000}$	$\frac{2401}{10000}$

$Eξ=\frac{3000+2100×2+1470×3+1029×4}{10000}=\frac{15726}{10000}=1.5726$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．