Question

16．设函数f（x）=2^x，对于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），有下列命题
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$
④$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$
⑤曲线g（x）=x²与曲线f（x）=2^x有三个公共点．
其中正确的命题序号是①③④⑤．

Answer 1

分析 利用指数运算法则以及性质判断①②的正误，利用函数的单调性判断③的正误；函数的凹凸性判断④的正误；函数的图象交点个数判断⑤的正误；

解答 解：函数f（x）=2^x，对于任意的x₁，x₂（x₁≠x₂），
①f（x₁+x₂）=${2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$=${2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}$=f（x₁）•f（x₂），所以①正确；
②f（x₁•x₂）=${2}^{{x}_{1}•{x}_{2}}$，f（x₁）+f（x₂）=${2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}$，显然②不正确；
③因为函数f（x）=2^x，是增函数，满足$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$，所以③正确；
④因为函数f（x）=2^x，是凹函数，所以$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$，所以④正确；
⑤曲线g（x）=x²与曲线f（x）=2^x的图象如图：可知x＞0时，有x=2或x=4两个交点，x＜0时一个交点，两个函数有三个公共点．

故答案为：①③④⑤．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，函数的单调性以及凹凸性，函数的图象的作法，考查分析问题解决问题的能力．