Question

18．已知x₁和x₂分别是一元二次方程2x²+3x-6=0的两根，求下列各式的值
（1）|x₁-x₂|；
（2）$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$；
（3）x₁³+x₂³．

Answer 1

分析 由2x²+3x-6=0，可得x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-3．
可得（1）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$；
（2）$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$．
（3）x₁³+x₂³=$（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]$．

解答 解：∵2x²+3x-6=0，∴x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=-3．
∴（1）|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}-4×（-3）}$=$\frac{\sqrt{57}}{2}$；
（2）$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}$=$\frac{（-\frac{3}{2}）^{2}-2×（-3）}{（-3）^{2}}$=$\frac{11}{12}$；
（3）x₁³+x₂³=（x₁+x₂）$（{x}_{1}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}^{2}）$=$（{x}_{1}+{x}_{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-3{x}_{1}{x}_{2}]$=$-\frac{3}{2}$×$[（-\frac{3}{2}）^{2}-3×（-3）]$=$\frac{-135}{8}$．

点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．