Question

（2012•浙江）已知a∈R，函数f（x）=4x³-2ax+a．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．

Answer 1

分析：（1）求导函数，再分类讨论：a≤0时，f′（x）≥0恒成立；a＞0时，f′（x）=12x²-2a=12（x-

a 6

）（x+

a 6

），由此可确定f（x）的单调区间；
（2）由于0≤x≤1，故当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x³-2ax+2≥4x³-4x+2；当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x³+2a（1-x）-2≥4x³+4（1-x）-2=4x³-4x+2，构造函数g（x）=2x³-2x+1，0≤x≤1，确定g（x）_min=g（

3

3

）=1-

4 3

9

＞0，即可证得结论．

解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=12x²-2a
a≤0时，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）
a＞0时，f′（x）=12x²-2a=12（x-

a 6

）（x+

a 6

）
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-

a 6

），（

a 6

，+∞）；单调递减区间为（-

a 6

，

a 6

）；
（2）证明：由于0≤x≤1，故
当a≤2时，f（x）+|2-a|=4x³-2ax+2≥4x³-4x+2
当a＞2时，f（x）+|2-a|=4x³+2a（1-x）-2≥4x³+4（1-x）-2=4x³-4x+2
设g（x）=2x³-2x+1，0≤x≤1，∴g′（x）=6（x-

3

3

）（x+

3

3

）

x	0	（0， 3 3 ）	3 3	（ 3 3 ，1）
g′（x）		-		+
g（x）			极小值

∴函数g（x）在（0，

3

3

）上单调减，在（

3

3

，1）上单调增
∴g（x）_min=g（

3

3

）=1-

4 3

9

＞0
∴当0≤x≤1时，2x³-2x+1＞0
∴当0≤x≤1时，f（x）+|2-a|＞0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．