Question

6．如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC=x百米，EF=y百米．
（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置；
（2）试求x的值，使路EF的长度y最短．

Answer 1

分析 （1）当点F与点D重合时，${S_{△CDE}}=\frac{1}{4}{S_{平行四边形ABCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，即${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}CE•CD•sin{120°}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}x=\frac{{\sqrt{3}}}{4}⇒x=1$，从而确定点E的位置；
（2）分类讨论，确定y关于x的函数关系式，利用配方法求最值．

解答 解：（1）∵${S_{平行四边形ABCD}}=2×\frac{1}{2}×1×2sin{120°}=\sqrt{3}$
当点F与点D重合时，由已知${S_{△CDE}}=\frac{1}{4}{S_{平行四边形ABCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
又∵${S_{△CDE}}=\frac{1}{2}CE•CD•sin{120°}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}x=\frac{{\sqrt{3}}}{4}⇒x=1$，E是BC的中点
（2）①当点F在CD上，即1≤x≤2时，利用面积关系可得$CF=\frac{1}{x}$，
再由余弦定理可得$y=\sqrt{{x^2}+\frac{1}{x^2}+1}≥\sqrt{3}$；当且仅当x=1时取等号
②当点F在DA上时，即0≤x＜1时，利用面积关系可得DF=1-x，
（ⅰ）当CE＜DF时，过E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=1-2x，∠EGF=60°，
利用余弦定理得$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$
（ⅱ）同理当CE≥DF，过E作EG∥CD交DA于G，在△EGF中，EG=1，GF=2x-1，∠EGF=120°，
利用余弦定理得$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$
由（ⅰ）、（ⅱ）可得$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$，0≤x＜1
∴$y=\sqrt{4{x^2}-2x+1}$=$\sqrt{4（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{3}{4}}$，
∵0≤x＜1，∴${y_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，当且仅当x=$\frac{1}{4}$时取等号，
由①②可知当x=$\frac{1}{4}$时，路EF的长度最短为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．