Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的周期性单调性，求得函数的周期；利用正弦函数的图象的对称性求得该函数的对称中心．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（3）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1的最小正周期$\frac{2π}{2}$=π．
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，
∴对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{8}$，1）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，（k∈Z），解得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，（k∈Z）．
（3）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{8}$时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{2}$+1，
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$，即x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值0．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性单调性、定义域和值域以及它的图象的对称性，属于中档题．