Question

若函数f（x）=2^|x+7|-|3x-4|的最小值为2，求自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：分三种情况：①当x＞

4

3

时；②当-7≤x≤

4

3

时；③当x＜-7时对函数f（x）=2^|x+7|-|3x-4|，讨论去绝对值，得函数f（x）为分段函数．分别解相应范围内的不等式，先交后并，最终可以得出满足条件的自变量x的取值范围．

解答：解：依题意，2^|x+7|-|3x-4|≥2
∴|x+7|-|3x-4|≥1，（2分）
当x＞

4

3

时，不等式为x+7-（3x-4）≥1解得x≤5，即

4

3

＜x≤5（3分）
当-7≤x≤

4

3

时，不等式为x+7+（3x-4）≥1解得x≥-

1

2

，即-

1

2

≤x≤

4

3

；           （4分）
当x＜-7时，不等式为-x-7+（3x-4）≥1，解得 x≥6，与x＜-7矛盾             （5分）
∴自变量x的取值范围为-

1

2

≤x≤5．                                             （7分）

点评：本题考查了函数最值的应用，以及函数和不等式相综合等问题，属于基础题．按绝对值等于零的零点进行分类讨论，将函数化为分段函数来解决最值问题，是解决本小题的关键．