Question

19．若向量$\overline{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|≤2，且|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{21}$，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值为$\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 利用向量的平方等于模的平方，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最大值，进一步对|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|平方求最大值．

解答 解：因为|$\overrightarrow{a}$|=5，|$\overrightarrow{b}$|≤2，且|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{21}$，得到${\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=21$，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤5$，则|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤39，
所以|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的最大值为$\sqrt{39}$；
故答案为：$\sqrt{39}$．

点评 本题考查了平面向量运算、向量的模的平方与向量平方的关系运用．