Question

7．已知指数函数y=g（x）满足g（-3）=$\frac{1}{8}$，定义域为R的函数f（x）=$\frac{g（x）-1}{g（x）+m}$是奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的定义域上的单调性，并求函数的值域；
（3）若不等式：t•f（x）≤2^x-2在（0，1]有解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），利用g（-3）=$\frac{1}{8}$，解得a即可；
（2）利用奇函数的定义和性质f（-x）=-f（x）建立方程即可；
（3）利用参数分离法转化为t≤$\frac{（{2}^{x}-2）（{2}^{x}+1）}{{2}^{x}-1}$，进而即可解出t的取值范围．

解答 解：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），
∵g（-3）=$\frac{1}{8}$，∴g（-3）=$\frac{1}{8}$=a^-3，解得a=2．
∴g（x）=2^x；    
则f（x）=$\frac{g（x）-1}{g（x）+m}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+m}$，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+m}$=-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+m}$，
即$\frac{1-{2}^{x}}{1+m•{2}^{x}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{m+{2}^{x}}$，
即1+m•2^x=m+2^x，
解得m=1，
则f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+m}$=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$； 
（2）由f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
∵y=1+2^x，为增函数，
∴y=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为减函数，y=-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为增函数，
即函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$为增函数，
∵1+2^x＞1，∴0＜$\frac{1}{1+{2}^{x}}$＜1，
∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，-2＜-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜0，
-1＜1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1，
即-1＜f（x）＜1，即函数的值域为（-1，1）；
（3）若不等式：t•f（x）≤2^x-2在（0，1]有解，
即t•$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$≤2^x-2在（0，1]有解，
则t≤$\frac{（{2}^{x}-2）（{2}^{x}+1）}{{2}^{x}-1}$，
设h（x）=$\frac{（{2}^{x}-2）（{2}^{x}+1）}{{2}^{x}-1}$，
令m=2^x，则1＜m≤2，
则函数等价为y=$\frac{（m-2）（m+1）}{m-1}$=$\frac{[（m-1）-1][（m-1）+2]}{m-1}$=$\frac{（m-1）^{2}+（m-1）-2}{m-1}$=（m-1）-$\frac{2}{m-1}$+1，
则函数y=（m-1）-$\frac{2}{m-1}$+1在1＜m≤2上为增函数，
∴y≤1-2+1=0，
即t≤0．

点评 本题考查了函数的奇偶性和单调性、指数函数的定义与性质、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查学生的运算能力．