Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞1}\\{{x}^{2}-3，x≤1}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=$\frac{a}{x}$恰有两个不同解，则实数a的取值范围为[-2，0]∪{2}．

Answer 1

分析 分类讨论，利用关于x的方程f（x）=$\frac{a}{x}$恰有两个不同解，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意，a＞0，x＞1时，lnx=$\frac{a}{x}$有一个解；
x≤1时，x²-3=$\frac{a}{x}$只有一个解，即a=x³-3x只有一个解，
令y=x³-3x，则y′=3（x+1）（x-1），
∴x＜-1时，y′＞0，-1＜x＜1时，y′＜0，
x=-1时，y=2，x=1时，y=-2，此时a=2满足题意；
同理，-2≤a≤0满足题意，
故答案为[-2，0]∪{2}．

点评 本题考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键．