Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，
（1）求证：方程f（x）=0有实根；
（2）求证：-2＜

b

a

＜-1；
（3）设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，求|x₂-x₁|的取值范围．

Answer 1

分析：由f（0）f（1）＞0得c（3a+2b+c）＞0，又a+b+c=0可得2a²+3ab+b²＜0
（1）由判别式法判断：因为△_x=4b²-12ac=4b²+12a（a+b）=12a²+12ab+4b²═12（a2+ab+

1

3

b2)可得结论．
（2）由2a²+3ab+b²＜0，变形为(

b

a

)2+3(

b

a

)+2＜0求解即可．
（3）由韦达定理来构造：|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-2x1x2

═

4b2 9a2 - 2c 3a

=

4 9 ( b a )2+ 2 3 ( b a )+ 2 3

，再由-2＜

b

a

＜-1求得其范围．

解答：解：∵f（0）f（1）＞0
∴c（3a+2b+c）＞0，
又a+b+c=0即c=-a-b
所以（-a-b）（2a+b）＞0
即2a²+3ab+b²＜0
（1）△_x=4b²-12ac=4b²+12a（a+b）=12a²+12ab+4b²=12（a2+ab+

1

3

b2)
∴所给方程有实根（6分）
（2）由2a²+3ab+b²＜0知a2≠0，
(

b

a

)2+3(

b

a

)+2＜0
解得：-2＜

b

a

＜-1（6分）
（3）∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

═

4b2 9a2 - 4c 3a

=

4 9 ( b a )2+ 4 3 ( b a )+ 4 3

∵-2＜

b

a

＜-1，结合二次函数的性质，
∴|x₁-x₂|∈[

3

3

，

2

3

）．

点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，主要涉及了函数与方程的转化，构造不等式，二次函数求最值等．