Question

min{s₁，s₂，┅，s_n}，max{s₁，s₂，┅，s_n}分别表示实数s₁，s₂，┅，s_n中的最小者和最大者．
（1）作出函数f（x）=|x+3|+2|x-1|（x∈R）的图象；
（2）在求函数f（x）=|x+3|+2|x-1|（x∈R）的最小值时，有如下结论：f（x）_min=min{f（-3），f（1）=4．请说明此结论成立的理由；
（3）仿照（2）中的结论，讨论当a₁，a₂，┅，a_n为实数时，函数f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+┅+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜┅＜x_n∈R）的最值．

Answer 1

分析：（1）利用绝对值的意义，对x分段讨论取得绝对值符号，转化为分段函数，分段画出函数的图象．
（2）结合图象得到函数的单调性，利用单调性说明函数的最值在何处取得．
（3）利用类比推理得到一般情况下最值在何处取得．

解答：解：（1）f（x）=|x+3|+2|x-1|=

-3x-1(x≤-3) -x+5(-3＜x＜1) 3x+1(x≥1)

其图象如图

（2）当x∈（-∞，-3）时，f（x）是减函数，
当x∈[-3，1）时，f（x）是减函数，
当x∈[1，+∞）时，f（x）是增函数，
∴f（x）_min=min{f（-3），f（1）}=4．
（3）当a₁+a₂+┅+a_n＜0时，f（x）_max=maxf（x₁），f（x₂），┅，f（x_n）}；
当a₁+a₂+┅+a_n＞0时，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂），┅，f（x_n）}；
当a₁+a₂+┅+a_n=0时，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂）}，
f（x）_max=maxf（x₁），f（x_n）}．

点评：本题考查利用绝对值的意义分段讨论去绝对值转化为分段函数、利用函数的单调性求函数的最值、类比推理的推理方法．