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设h（x）= $数学公式$ ，x∈（-1，1）试判断函数h（x）的单调性，并用函数单调性定义，给出证明．

解：h（x）的定义域为（-1，1）
判断h（x）在（-1，1）上是增函数，下证明之：
设任x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂
∵h（x₂）-h（x₁）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，2-x₁＞0，2-x₂＞0
则= $\text{[math]}$ ＞0
∴h（x₂）-h（x₁）＞0，即h（x₂）＞h（x₁）
根据单调增函数的定义可知h（x）在（-1，1）上是增函数．
分析：先判断出h（x）在（-1，1）上的单调性，取值作差，通分化简判定出符号，再根据函数单调性的定义进行判定即可．
点评：本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及分式函数符号的判定，属于基础题．

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设函数g(x)=

+1，函数h(x)=

x+3

，x∈(-3，a]，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当a=

时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为[

，

]？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

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，x∈[

，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f₂（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设M(x)=

h(x)+h(4x)

|h(x)-h(4x)|

，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

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科目：高中数学 来源： 题型：

定义非零向量

=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

=(a，b)称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设h（x）=cos（x+

）-2cos（x+a）（a∈R），求证：h（x）∈S；
（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点M（a，b）（b≠0）满足：(a-

)2+(b-1)2=1上一点，向量

的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值．当点M运动时，求tan2x₀的取值范围．

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