已知圆锥曲线的焦点为,相应的准线方程为,且曲线过定点.
又直线与曲线交于两点.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)试判断是否存在直线,使得点是△的重心.若存在,求出对应的直线的方程;
若不存在,请说明理由;
(3)试判断是否存在直线,使得点是△的的垂心.若存在,求出对应的直线的方程;
若不存在,请说明理由.
解:(1)根据圆锥曲线的第二定义知,曲线C的离心率根据圆锥曲线的第二定义知,
曲线C的离心率e=<1,故为椭圆,
根据条件解得曲线C的轨迹方程为:. -----------------4分;
(2)假设存在直线l,使得点F是△BMN的重心.
再设直线l与椭圆.的交点M、N的坐标分别为M(x1,y1)、N(x2,y2),
则由椭圆几何性质的范围性知:-≤x1≤, -≤x2≤,则-2≤x1+x2≤2<3,
另一方面,F(1,0)是△BMN的重心, 结合 B(0,1)及重心坐标公式知3×1=0+x1+x2,
即x1+x2=3,这与x1+x2≤2<3矛盾, 故满足要求的直线l不存在. --------------8分;
(3)假设存在直线l,使得点F是△BMN的垂心. 由B(0,1)、F(1,0),知直线BF的斜率为-1. 于是,由BF⊥MN,知直线l的斜率为1. 设直线l方程为y=x+b. 与联立消去y,得3x2+4bx+2(b2-1)=0 (*)
设M(x1,y1)、N(x2,y2),根据韦达定理得x1+x2=-, x1x2=.
若再能保证NF⊥BM,即·=0,则F必为△BMN的垂心.
∵=(1-x2,-y2), =(x1,y1-1)
·=(1-x2)x1-y2(y1-1)=x1+y2-x1x2-y1y2=x1+(x2+b)-x1x2-(x1+b)(x2+b)
=-2x1x2+(1-b)(x1+x2)+b-b2=-2·+b-b2=0
即3b2+b-4=0,解得b=1或b=-.
当b=1时,点B即为直线l与椭圆的交点,不合题意;
当b=-时,代入方程(*)得3x2-x+=0,其判别式△==>0,则两端点存在,
满足题设.综上得,存在直线l: y=x-,使得点F是△BMN的垂心. ---------------------16分
科目:高中数学 来源:学习周报 数学 人教课标高二版(A选修1-1) 2009-2010学年 第19期 总第175期 人教课标版(A选修1-1) 题型:044
已知圆锥曲线的焦点为F(-1,1),相应的准线方程为x+y-2=0,且曲线通过坐标原点,求此圆锥曲线方程.
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科目:高中数学 来源:学习周报 数学 人教课标版高二(A选修2-1) 2009-2010学年 第19期 总第175期 人教课标版(A选修2-1) 题型:044
已知圆锥曲线的焦点为F(-1,1),相应的准线方程为x+y-2=0,且曲线通过坐标原点,求此圆锥曲线方程.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年湖南长沙重点中学高三上学期第四次月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知圆锥曲线的两个焦点坐标是,且离心率为;
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设曲线表示曲线的轴左边部分,若直线与曲线相交于两点,求的取值范围;
(Ⅲ)在条件(Ⅱ)下,如果,且曲线上存在点,使,求的值.
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科目:高中数学 来源:2013届辽宁省高三第四次阶段测试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知圆锥曲线C: 为参数)和定点,是此圆锥曲线的左、右焦点。
(1)以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线的极坐标方程;
(2)经过点,且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点,求的值.
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