Question

上海世博会于2010年5月1日正式开幕，按规定个人参观各场馆需预约，即进入园区后持门票当天预约，且一张门票每天最多预约六个场馆．考虑到实际情况（排队等待时间等），张华决定参观甲、乙、丙、丁四个场馆．假设甲、乙、丙、丁四个场馆预约成功的概率分别是

2

5

 ， 

3

5

 ， 

3

5

 ， 

3

5

，且它们相互独立互不影响．
（1）求张华能成功预约甲、乙、丙、丁中两个场馆的概率；
（2）用ξ表示能成功预约场馆的个数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）张华能成功预约甲、乙、丙、丁中两个场馆，包括六种情况，这六种情况是互斥的根据相互独立事件和互斥事件的概率公式得到概率．
（2）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，根据上一问做出了变量等于2的概率，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列和期望值．

解答：解：记事件A=“成功预约甲场馆”，B=“成功预约乙场馆”，C=“成功预约丙场馆”，D=“成功预约丁场馆”，则由已知事件A，B，C，D相互独立，且它们的对立事件

.

A

，

.

B

，

.

C

，

.

D

也相互独立．
（1）张华能成功预约甲、乙、丙、丁中两个场馆的概率为P=P(A•B•

.

C

•

.

D

)+P(A•

.

B

•C•

.

D

)+P(A•

.

B

•

.

C

•D)+P(

.

A

•B•C•

.

D

)+P(

.

A

•B•

.

C

•D)+P(

.

A

•

.

B

•C•D)=

2

5

×

3

5

×(

2

5

)2+

2

5

×

2

5

×

3

5

×

2

5

+

2

5

×

2

5

×

2

5

×

3

5

+

3

5

×

3

5

×

3

5

×

2

5

+

3

5

×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

3

5

×

2

5

×(

3

5

)2=

234

625

．
（2）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4
由（1）P(ξ=2)=

234

625

，
同（1）可得P(ξ=0)=P(

.

A

•

.

B

•

.

C

•

.

D

)=

3

5

×(

2

5

)3=

24

625

，
P（ξ=3）=P(A•B•C•

.

D

)+P(A•B•

.

C

•D)+P(A•

.

B

•C•D)+P(

.

A

•B•C•D)=

2

5

×(

3

5

)2×

2

5

+

2

5

×

3

5

×

2

5

×

3

5

+

2

5

×

2

5

×(

3

5

)2+(

3

5

)4=

189

625

P（ξ=4）=P(A•B•C•D)=

2

5

×(

3

5

)3=

54

625

P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)-P(ξ=3)-P(ξ=4)=

124

625

，
∴分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	24 625	124 625	234 625	189 625	54 625

∴Eξ=0×

24

625

+1×

124

625

+2×

234

625

+3×

189

625

+4×

54

625

=

11

5

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题解题的关键是条件中所给的情况比较多，需要认真计算才不会在数字运算上出错．