Question

（2012•深圳一模）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD=2AB=4，AD=

2

，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中点O在线段DE内．
（1）求证：CO⊥平面ABED；
（2）问∠CEO（记为θ）多大时，三棱锥C-AOE的体积最大？最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）通过证明BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE=E，利用在与平面垂直的判定定理证明CO⊥平面ABED；
（2）利用∠CEO=θ，表示三棱锥C-AOE的体积的表达式，利用二倍角的正弦函数，通过角的我求出表达式的最大值．

解答：解：（1）证明：在直角梯形ABCD中，
CD=2AB，E为CD的中点，
则AB=DE，又AB∥DE，
AD⊥AB，知BE⊥ED．…（1分）
在四棱锥C-ABED中，BE⊥DE，BE⊥CE，CE∩DE=E，
CE，DE?平面CDE，则BE⊥平面CDE．…（3分）
因为CO?平面CDE，所以BE⊥CO…（4分）
又CO⊥DE，且BE，DE是平面ABDE内两条相交直线，…（6分）
故CO⊥平面ABED．…（7分）
（2）解：由（1）知CO⊥平面ABED，
知三棱锥C-AOE的体积V=

1

3

S△AOE•OC=

1

3

×

1

2

×OE×AD×OC…（9分）
由直角梯形ABCD中，CD=2AB=4，AD=

2

，CE=2，
得三棱锥C-AOE中，
OE=CEcosθ=2cosθ，OC=CEsinθ=2sinθ…（10分）
V=

2

3

sin2θ≤

2

3

，…（11分）
当且仅当sin2θ=1，θ∈(0，

π

2

)，即θ=

π

4

时取等号，…（12分）
（此时OE=

2

＜DE，O落在线段DE内）．
故当θ=

π

4

时，三棱锥C-AOE的体积最大，最大值为

2

3

．…（13分）

点评：本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．