Question

6．设函数f（x）=-$\frac{5}{3}$x³+bx-c，其导数为f′（x），若f′（1）=-2，则二项式（bx+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中x³的系数为（　　）

• A． 10250
• B． 3430
• C． 825
• D． 405

Answer 1

分析 求函数的导数，根据条件求出b的值，利用二项式定理的知识进行求解即可．

解答 解：函数的导数为f′（x）=-5x²+b，
若f′（1）=-2，
则f′（1）=-5+b=-2，
即b=3，
则二项式（bx+$\frac{1}{x}$）⁵的展开式的通项公式为T_k+1=${C}_{5}^{k}（bx）^{5-k}•（\frac{1}{x}）^{k}$=${C}_{5}^{k}$b^5-kx^5-k•x^-k=${C}_{5}^{k}$b^5-kx^5-2k，
∵5-2x=3得x=1，
∴展开式中x³的系数为为${C}_{5}^{1}$•b⁴=5•3⁴=5×81=405，
故选：D．

点评 本题主要考查导数的计算，以及二项式定理的应用，根据导数公式求出b的值是解决本题的关键．