Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣ x2（a∈R）．
（1）若x＞0，恒有f（x）≤x成立，求实数a的取值范围；
（2）若a=0，求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1 ， x2 ， 求证： + ＞2ae．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＞0，恒有f（x）≤x成立，

∴xlnx﹣ x2≤x恒成立，

∴ ≥ ，

设g（x）= ，

∴g′（x）= ，

当g′（x）＞0时，即0＜x＜e2，函数g（x）单调递增，

当g′（x）＜0时，即x＞e2，函数g（x）单调递减，

∴g（x）max=g（e2）= = ，

∴ ≥ ，

∴a≥ ，

∴实数a的取值范围为[ ，+∞）

（2）解：当a=0时，f（x）=xlnx，x＞0，

∴f′（x）=1+lnx，

当t＞ 时，f′（x）＞0，f（x）在[t，t+2]上单调递增，则f（x）min=f（t）=tlnt，

当0＜t≤ 时，令f′（x）＞0，解得x＞ ，令f′（x）＜0，解得x＜ ，

∴f（x）在[t， ]上单调递减，在[ ，t+2]上单调递增，

∴f（x）min=f（ ）=﹣

（3）解：g′（x）=f（x）′﹣1=lnx﹣ax，函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2，

即g′（x）=lnx﹣ax=0有两个不同的实根，

当a≤0时，g′（x）单调递增，g′（x）=0不可能有两个不同的实根；

当a＞0时，设h（x）=lnx﹣ax，

h′（x）= ，

若0＜x＜ 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

若x＞ 时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

∴h（ ）=﹣lna﹣1＞0，∴0＜a＜ ．

不妨设x2＞x1＞0，∵g′（x1）=g′（x2）=0，∴lnx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），

先证 + ＞2，即证 ＜ ，

即证ln ＜ = （ ﹣ ）

令 =t，即证lnt＜ （t﹣ ）

设φ（t）=lnt﹣ （t﹣ ），则φ′（t）= = ＜0，

函数φ（t）在（1，+∞）上单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0，

∴ + ＞2，

又∵ae＜1，

∴ + ＞2ae

【解析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可，（2）先求导函数，再分类讨论，利用导数即可求出函数的最值．（3）函数g（x）=f（x）﹣x有两个极值点x1、x2 ， 即导函数g′（x）有两个不同的实数根x1、x2 ， 对a进行分类讨论，令 =t，构造函数φ（t），利用函数φ（t）的单调性证明不等式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．