Question

已知函数f（x）=-x³+ax-4（a∈R）．
（1）若a=2，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（2）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入函数解析式，求导后求出导函数的零点，由零点对[-1，1]分段后分析单调性，并求出极值，和端点值比较后得f（x）在[-1，1]上的最小值；
（2）求出原函数的导函数，分a小于等于0和a大于0进行讨论，当a大于0时求出原函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0求得a的取值范围．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=-x³+2x²-4，f′（x）=-3x²+4x．
令f′（x）=0，得x1=0，x2=

4

3

．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
f′（x）	-7	-	0	+	1
f（x）	-1	↘	-4	↗	-3

∴当x∈[-1，1]时，f（x）最小值为f（0）=-4；  
（2）∵f′(x)=-3x(x-

2a

3

)．
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴当a≤0时，不存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0；
②若a＞0，则当0＜x＜

2a

3

时，f′（x）＞0，∴f（x）在(0，

2a

3

)上单调递增；
当x＞

2a

3

时，f′（x）＜0，∴f（x）在在(

2a

3

，+∞)上单调递减．
∴当x∈（0，+∞）时，fmax(x)=f(

2a

3

)=-

8a3

27

+

4a3

9

-4=

4a3

27

-4．
根据题意，得

4a3

27

-4＞0，∴a＞3．
综上，a的取值范围是（3，+∞）．

点评：本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于把存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0转化为函数在区间上的最大值大于0求解，是有一定难度题目．