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    若对于定义在R上的函数f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）是一个“λ-伴随函数”．有下列关于“λ-伴随函数”的结论：
    ①f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ-伴随函数”；
    ②f（x）=x不是“λ-伴随函数”；
    ③f（x）=x2是“λ-伴随函数”；
    ④“
    1
    2
    -伴随函数”至少有一个零点．
    其中正确结论的个数是（　　）个．
    A．1B．2C．3D．4
    ①、设f（x）=C是一个“λ-同伴函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ-同伴函数”，故①错误
    ②、假设f（x）=x是一个“λ-同伴函数”，则x+λ+λx=0对任意实数x成立，则有λ+1=λ=0，而此式无解，所以f（x）=x不是“λ-伴随函数”，故②正确；
    ③、假设f（x）=x2是一个“λ-同伴函数”，则（x+λ）2+λx2=0，
    即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ-同伴函数”．故③错误
    ④、令x=0，得f（
    1
    2
    ）+
    1
    2
    f（0）=0．所以f（
    1
    2
    ）=-
    1
    2
    f（0）．
    若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（
    1
    2
    ）•f（0）=-
    1
    2
    （f（0））2＜0．
    又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，
    1
    2
    ）上必有实数根．
    因此任意的“
    1
    2
    -同伴函数”必有根，即任意“
    1
    2
    -同伴函数”至少有一个零点．故④正确．
    故答案为：B．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列说法中：
    ①函数f(x)=
    x-1
    x+1
    与g（x）=x的图象没有公共点；
    ②若定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），则6为函数f（x）的周期；
    ③若对于任意x∈（1，3），不等式x2-ax+2＜0恒成立，则a＞
    11
    3
    ；
    ④定义：“若函数f（x）对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，则称函数f（x）为有界泛函．”由该定义可知，函数f（x）=x2+1为有界泛函．
    则其中正确的是
    ①②③
    ①②③
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义在R上的函数f(x)=
    -4•3x+m
    9x
    ，若其所有的函数值不超过1，则m的取值范围是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：单选题

    对于定义在R上的函数数学公式，若其所有的函数值不超过1，则m的取值范围是


    1. A.
      （-∞，-4]
    2. B.
      （-∞，0]
    3. C.
      [-4，+∞）
    4. D.
      （0，+∞）

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    对于定义在R上的函数f(x)=
    -4•3x+m
    9x
    ，若其所有的函数值不超过1，则m的取值范围是（　　）
    A．（-∞，-4]B．（-∞，0]C．[-4，+∞）D．（0，+∞）

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    科目：高中数学 来源：2005-2006学年江苏省无锡市天一中学高三数学专项训练：函数（解析版） 题型：选择题

    对于定义在R上的函数，若其所有的函数值不超过1，则m的取值范围是（ ）
    A．（-∞，-4]
    B．（-∞，0]
    C．[-4，+∞）
    D．（0，+∞）

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