Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-x-2lnx．
（1）求函数f（x）的极大值点和极小值点；
（2）求函数f（x）在区间[1，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导，利用导函数正负判断原函数单调性，进而求出原函数极值点
（2）利用闭区间求最值的方法，在区间[1，3]上，最大值要么是f（1）要么是f（3），只需比较二者大小即可．

解答 解：（1）f'（x）=x-1-$\frac{2}{x}$
=$\frac{（x-2）（x+1）}{x}$，
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，
∴当x=2时，f（x）有极小值f（2）=-2ln2，
函数无极大值点．
（2）在区间[1，3]上，
f（1）=-$\frac{1}{2}$，f（3）=$\frac{3}{2}-2ln3$，
∵ln3＞1，
∴f（1）＞f（3），
故函数f（x）在区间[1，3]上的最大值为f（1）=-$\frac{1}{2}$．

点评 考察了利用导函数求极值和最值的方法，常考题型．