Question

20．已知a₁，a₂，a₃不全为零，设正数x，y满足x²+y²=2，令$\frac{{x{a_1}{a_2}+y{a_2}{a_3}}}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$≤M，则M的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 若a₂=0，则 $\frac{{x{a_1}{a_2}+y{a_2}{a_3}}}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$=0．若a₂≠0，则 $\frac{{x{a_1}{a_2}+y{a_2}{a_3}}}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$=$\frac{{x•a}_{1}+{ya}_{3}}{\frac{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}}{{a}_{2}}{+a}_{2}}$≤$\frac{x|{a}_{1}|+{y|a}_{3}|}{\frac{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}{{|a}_{2}|}+{|a}_{2}|}$，再利用柯西不等式求得它的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而求得M的最小值．

解答 解：若a₂=0，则 $\frac{{x{a_1}{a_2}+y{a_2}{a_3}}}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$=0．
若a₂≠0，则 $\frac{{x{a_1}{a_2}+y{a_2}{a_3}}}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$=$\frac{{x•a}_{1}+{ya}_{3}}{\frac{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{2}}^{2}}{{a}_{2}}{+a}_{2}}$≤$\frac{x|{a}_{1}|+{y|a}_{3}|}{\frac{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}{{|a}_{2}|}+{|a}_{2}|}$≤$\frac{\sqrt{{（x}^{2}{+y}^{2}）•{{（a}_{1}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}）}}{2\sqrt{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2•{{（a}_{1}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}）}}{2\sqrt{{{a}_{1}}^{2}{{+a}_{3}}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当且仅当$\frac{x}{{a}_{1}}$=$\frac{y}{{a}_{3}}$ 时，取等号，故令$\frac{{x{a_1}{a_2}+y{a_2}{a_3}}}{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故M的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．