Question

9．某正项等比数列a₁，a₂，…，a_2n，各项和是其偶数项和的3倍，各项积是2⁵⁰，已知a_n+1=4，问n为何值时，数列{log₂a_n}的前n项和有最大值？求出这个最大值．

Answer 1

分析 通过求和公式及题意可知$\frac{a（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=3•$\frac{aq（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$，化简可知公比q=$\frac{1}{2}$，利用a_n+1=4可知a_n=8、a_na_n+1=2⁵，利用等比中项的性质可知a₁•a₂•…•a_2n=2⁵ⁿ，进而可知a_n=2^13-n，从而数列{log₂a_n}是以12为首项、-1为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：依题意，$\frac{a（1-{q}^{2n}）}{1-q}$=3•$\frac{aq（1-{q}^{2n}）}{1-{q}^{2}}$，
即$\frac{a}{1-q}$=$\frac{3aq}{1-{q}^{2}}$，解得：q=$\frac{1}{2}$，
∵a_n+1=4，
∴a_n=8，a_na_n+1=2⁵，
∴a₁•a₂•…•a_2n=$（{a}_{n}{a}_{n+1}）^{n}$
=（2⁵）ⁿ=2⁵ⁿ，
又∵各项积是2⁵⁰，
∴n=10，
∴a₁₁=${a}_{1}{q}^{10}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{10}}$=4，
∴a₁=2¹²，
则a_n=2¹²•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=2^13-n，
∴b_n=log₂a_n=log₂2^13-n=13-n，
显然数列{b_n}是以12为首项、-1为公差的等差数列，
令b_n≥0可知n≥13，
∴数列{log₂a_n}的前12项和与前13项和相等且最大，
其最大值为：12×12+$\frac{12×11}{2}$×（-1）=78．

点评 本题考查等比数列的性质及简单应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．