Question

17．若椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，则该椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．焦距为2c．根据椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，可得2×2c=2a+2b，化简再利用b²=a²-c²即可得出．

解答 解：设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．焦距为2c．
∵椭圆的短轴长，焦距，长轴长构成等差数列，
∴2×2c=2a+2b，
化为2c=a+b，
∴（2c-a）²=b²=a²-c²，
化为：5c-4a=0，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．